Bài Toán Khó Đến Khó Tin: Giải Quyết Vấn Đề Kéo Dài Hàng Thập Kỷ

Một bài toán tồn tại suốt hàng thập kỷ đã được giải đáp, và điều này khiến cả thế giới cảm thấy bất ngờ.

Thay vì chỉ mất thời gian học những môn toán đơn giản trong hệ thống giáo dục, hãy cùng khám phá một bài toán khó đến mức có thể khiến bất kỳ ai cũng phải nhức đầu. Đây không phải là những bài tập mà bạn từng gặp trong lớp học, mà là một câu hỏi mà ba nhà nghiên cứu đã phải làm việc chăm chỉ trên một siêu máy tính để đạt được lời giải, với dung lượng lên đến 200 terabyte chỉ để lưu giữ phần kết quả.

Hãy tưởng tượng rằng một terabyte có thể lưu trữ tới 337.920 bản của tiểu thuyết nổi tiếng Chiến tranh và Hòa Bình của Lev Tolstoi. Vậy thử nghĩ xem 200 terabyte sẽ chứa đựng lượng thông tin khổng lồ như thế nào.

Bài toán này liên quan đến định lý Pythagoras – một trong những khái niệm thú vị nhất trong toán học. Được đưa ra lần đầu bởi giáo sư Ronald Graham vào những năm 1980, vấn đề này mang tên Biến số đúng sai của bộ ba số nguyên dương Pythagoras (Boolean Pythagorean Triples). Khó khăn của bài toán đến mức Ronald đã treo thưởng 100 USD cho bất kỳ ai có thể tìm ra lời giải.

Bài toán này xoay quanh công thức của định lý Pythagoras, biểu thị trong công thức a^2 + b^2 = c^2, trong đó a và b là hai cạnh vuông của tam giác, còn c là cạnh huyền.

Công thức của định lý Pythagoras.

Về cơ bản, sự phức tạp của bài toán này nằm ở chỗ một số nguyên dương có thể xuất hiện trong nhiều bộ ba khác nhau. Ví dụ, số 5 không chỉ nằm trong bộ ba 3-4-5 mà còn trong 5-12-13. Nếu theo nguyên tắc của Graham, nếu số 5 trong bộ ba trước màu xanh, số 5 trong bộ ba sau cũng phải có màu xanh, và điều này kéo theo màu sắc của các số khác trong bộ ba đó.

Ronald Graham, người thầy đã giao cho chúng ta bài toán mà mãi hàng thập kỷ sau mới có thể giải được.

Cuộc hành trình tìm kiếm lời giải cho bài toán này đã được thực hiện bởi ba nhà toán học: Marijn Heule từ Đại học Texas, Victor Marek từ Đại học Kentucky, và Oliver Kullmann từ Đại học Swansea. Họ đã sử dụng siêu máy tính Stampede tại Đại học Texas, áp dụng những kĩ thuật tính toán tối tân nhằm thu hẹp không gian “tô màu” cho các số nguyên.

Dàn siêu máy tính Stampede được sử dụng để giải bài toán khó này.

Với 800 vi xử lý mạnh mẽ, siêu máy tính đã xử lý thành công hàng triệu phép thử trong hai ngày, và giải pháp cuối cùng chỉ khả thi cho đến số 7.824, từ con số 7.825 trở đi, không còn phù hợp với điều kiện của Graham.

Cuối cùng, nhóm nghiên cứu đã được Ronald Graham thưởng 100 USD như đã hứa. Điều thú vị là kết quả của họ là một bản nén dữ liệu lên tới 68 gigabyte, chỉ dành cho những ai có bộ xử lý mạnh và thời gian rảnh rỗi để tải xuống, tái tạo và kiểm tra kết quả.

Các số từ 1 cho tới 7,824 có thể được tô màu bởi chúng thỏa mãn điều kiện của Graham đưa ra. Nhưng từ 7,825 trở đi, không có số nào thỏa mãn cả.

Mặc dù con người vẫn chưa thể đọc hiểu hết kết quả, nhưng điều đó không có nghĩa là lời giải không có giá trị. Bài toán này đặt ra một câu hỏi lớn hơn: Tại sao với những con số bắt đầu từ 7.825 trở đi lại không thể thực hiện việc “tô màu”? Điều này vẫn còn là một bí ẩn mà con người chưa thể giải thích.

Với sự giúp đỡ của siêu máy tính, câu hỏi về sự hiểu biết các con số vẫn còn tồn tại, và chứng tỏ rằng nhiều bài toán trong toán học vẫn rất cần sự nghiên cứu và khám phá tiếp theo.